どのような仕事であれば、外国人には就労の許可がおりるのか

その前に、そもそも就労許可を不要とする外国人がいます。
それは在留資格が、永住者、日本人の配偶者等、永住者の配偶者等、定住者である外国人です。
それから特別永住者(いわゆる在日韓国人など)も許可は不要です。
このような人を雇用する場合は就労許可手続きなどのことを考える必要はなく、日本人と同じように採用の手続きをとってください。
ただし、特別永住者を除き、外国人を雇用したらハローワークに届出が必要ですのでお忘れなく。

上記以外の在留資格の外国人は国(法務省地方入国管理局)から就労許可をとらなくてはなりませんが、いったいどのような仕事だと許可がおりるのでしょうか?

就労が許可される仕事の例

在留資格 職種例
教授 大学、高等専門学校等の教員・研究員
芸術 作曲家・画家・彫刻家・著述家等の芸術家
宗教 神官・僧侶・司教・宣教師・伝道師・牧師・神父等
報道 新聞・雑誌の記者・報道カメラマン等
経営・管理 経営者又は管理者
法律・会計業務 弁護士・司法書士・土地家屋調査士・外国法事務弁護士・公認会計士・外国公認会計士・税理士・社会保険労務士・弁理士・海事代理士・行政書士
医療 医師・歯科医師・薬剤師・保健師・助産師・看護師・准看護師・歯科衛生士・診療放射線技士・理学療法士・作業療法士・視能訓練士・臨床工学技士・義肢装具士
研究 (政府関係機関・地方公共団体・公社・公団・公益法人・民間企業・外国政府関係機関・国際機関等の)研究者
教育 小・中・高等学校・中等教育学校・特別支援学校・専修学校・各種学校等の教師
技術・人文知識・国際業務 機械・電子工学等のエンジニア、システムエンジニア等・通訳者・翻訳者・語学講師・海外取引業務担当者・服飾/室内装飾デザイナー等
企業内転勤 外国にある事業所からの転勤者
介護 介護福祉士
興行 ミュージシャン・ダンサー・俳優・タレント・プロスポーツ選手等
技能 外国料理のコック(料理人)・外国様式の建築家・外国人特有製品の修理技能者・毛皮/宝石加工技術者・ペルシャじゅうたん加工師・動物調教師・パイロット・スポーツ指導者・ソムリエ
技能実習 技能実習生

たったこれだけ?と思われるかも知れませんが、御覧のとおり専門的な職業でなければ今の日本では許可されません。

留学や家族滞在などの在留資格を持つ外国人については、入国管理局から資格外活動許可を得ていればアルバイトとして雇うことができます。
資格外活動許可を得ているかどうかは本人が持っている在留カードの裏面で確認できます。
アルバイトですと上記のような専門的な仕事でなくても、例えば、コンビニエンスストアや飲食店の店員として雇っても構いません。
ただし、アルバイトの時間に制限がありますし、風俗営業のお店で雇用することはできません。